双生，隐藏在数学中的最终难题

孪生质数猜想是数学界最重要也是最困难的问题之一。最近，两位数学家解决了这个问题的有限域版本，为这一著名猜想的最终证明提供了思路。YAo安检之家

作为最著名的数学难题之一，孪生质数猜想已经困扰了数学家一个多世纪。如果能够解决这一难题，人们将揭露算术学（arithmetic）的某些最深层的性质。9月7日，两位数学家贴出了一份有关这一猜想的证明，为孪生质数猜想开辟了新的前沿阵地。YAo安检之家
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“很长一段时间内，我们都在这一问题上一筹莫展，步履难行。任何新见解的出现都会令人激动不已。”牛津大学的数学家詹姆斯·梅纳德（James Maynard）如是说。YAo安检之家
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孪生质数猜想说的是什么？我们把一对彼此相差2的质数叫做孪生质数，比如5和7，17和19等等。孪生质数猜想预测，在所有的自然数或整数中，这样的质数有无数对。在过去十年中，数学家们在这一问题上做出了突破性的进展，但是还远没到解决它的程度。YAo安检之家
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哥伦比亚大学的威尔·萨温（Will Sawin）和威斯康辛大学麦迪逊分校的马克·舒斯特曼（Mark Shusterman）给出了一份新证明。他们在一个更小但依然十分重要的数学世界——有限域系统（finite field system）中证明了孪生质数猜想是正确的。在这样的系统下，人们可以只处理少量的数字。YAo安检之家
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麻雀虽小，五脏俱全。有限域系统仍保留着整数域的许多性质。数学家们尝试在有限域中回答算术学的问题，并期望将这些结果应用到整数中去。“说起来可能有些天真：我们的最终梦想是，如果对有限域的世界理解得足够好，你就能解释整数世界。”梅纳德说。YAo安检之家
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在有限域系统中，除了证明孪生质数猜想，萨温和舒斯特曼还得到了一个效力更广的结果。他们证明了在短间隔中，孪生质数究竟多久出现一次。这一结果对孪生质数现象可谓是掌握到了极度精确的地步。数学家们做梦都想在普通的数字上得到这样的结论，所以，凡是相关的证明，他们都会找来细细研究，以期得到新思路，新启发。YAo安检之家
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新型质数YAo安检之家
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最著名的孪生质数猜想说的是，有无数对彼此相差2的质数。但是一个更加广义的命题预测，质数对的差距可以是任意常数，比如，你可以在自然数中找到无数对像3和7一样相差4的质数，或者像293和307一样相差14的质数。YAo安检之家
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这个更加广义的命题是法国数学家阿尔方斯·德·波林那克（Alphonse de Polignac） 在1849年提出的。在接下来的160年中，数学家们进展甚微。但是到了2013年，堡垒被攻破了，或者至少出现了显著的裂痕。那年张益唐证明了有无数对间隔不超过7000 0000的孪生质数。在接下来的一年中，其他数学家，包括梅纳德和陶哲轩，显著缩小了这一质数间隔。目前，已经被证明的孪生质数猜想，其间隔已经缩小至246。YAo安检之家
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但是，孪生质数问题的进展就此停滞了，数学家明白，如果要彻底解决这一问题，他们需要一个全新的思路。而有限域系统就是一个寻找新思路的好地方。YAo安检之家
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为了构建一个有限域，可以先从自然数中提取一个有限的子集，可以选取头五个（或者任意质数个）数字。我们用表盘（而不是通常使用的数轴）来将这些数字直观地表示出来。YAo安检之家
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直觉会告诉你，运算沿着顺时针方向进行。在有限域系统中，4+3是多少？我们可以从4开始，沿着表面数三个格子，到达2的位置。减法、乘法和除法的工作原理也是相似的。YAo安检之家

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图注：有限数字系统。一个有限域含有有限个元素。（通常是质数个）左图展示了5个元素的有限域，右图是在此有限域中的加法运算过程。YAo安检之家
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只有一个陷阱。典型的质数概念在有限域系统里似乎讲不通。在有限域中，每个数字都可以被其它数整除。例如，7通常不能被3整除，但在一个有5个元素的有限域中却是可以的。那是因为，在这个有限域中，7和12是同一个数字，它们都降落在钟面上2的位置。所以7除以3等于12除以3，12除以3等于4。YAo安检之家
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有限域中不存在质数，那么，在有限域中我们用质数多项式来类比整数域中的质数。有限域中的孪生质数猜想讨论的，是像x^2+1这样的数学表达式。