双生，隐藏在数学中的最终难题

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图注：素数多项式是什么？一个素数多项式只有一个素数因子式——它自己。如上图：x^2+x+2具有素数性质，因为它不能被因式分解；x^2-1不具有素数性质，它是x+1和x-1的乘积。zfa安检之家
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有限域和质数多项式看起来可能太不自然了，人为设计的痕迹明显，在研究一般数字方面用处不大。但它们很像飓风模拟器——一个自给自足的独立宇宙，能够对更广阔世界中的现象提供洞见。zfa安检之家
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舒斯特曼说：“把整数问题和多项式问题相互转化，这一做法自古就有。虽然转化来转化去，问题可能依然困难，但多项式版本的问题更可解了。”zfa安检之家
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20世纪40年代，安德烈·威尔（André Weil）将有限域系统中的算术学，准确地应用到了整数域。于是，有限域突然变得声名显赫起来。威尔利用有限域和整数域的这种联系达到了惊人的效果。他证明了数学中最重要的问题——黎曼猜想——的简化版本，即关于有限域中曲线的问题（也被称作几何黎曼猜想）。这一证明，再加上威尔提出的一系列附加猜想——威尔猜想，让人们确信，在数学世界的探索中，有限域是一片景色绮丽的富饶之地。zfa安检之家
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威尔最关键的见解是，在有限域的语境中，几何学的技巧是回答关于数字的问题的有力武器。“这就是有限域的特别之处。许多你想解决的问题，可以用几何的方式来重新表述，”舒斯特曼说。zfa安检之家
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几何和有限域是怎么扯上关系的呢？请将每个多项式想象为空间中的一个点。多项式的系数作为确定多项式所在位置的坐标。回到只含1，2，3三个元素的有限域，多项式2x+3的位置就是二维空间中的点（2,3）。zfa安检之家
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但即使是最简单的有限域也有无穷多个多项式。因为总可以增大最高次项的指数来把多项式变复杂。在我们的例子中，多项式x^2-3x-1可以用三维空间中的一个点表示。多项式3x^7+2x^6+2x^5-2x^4-3x^3+x^2-2x+3要用八维空间中的一个点表示。zfa安检之家
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这项新的工作中，就是用几何空间来代表某有限域的所有给定阶数的多项式（比如用一个三维空间来表示由1，2，3构成的有限域的所有最高次项指数不超过3的多项式）。于是问题就变成了：有没有办法分离出所有代表质数多项式的点？zfa安检之家
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萨温和舒斯特曼的策略是把空间分成两部分。其中一部分中，所有点都对应于具有偶数个因式的多项式；另一部分的所有点都对应于含有奇数个因式的多项式zfa安检之家

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图注：素数的几何。为了找到素数多项式，数学家将方程翻译成几何语言。子图1：用多项式的系数作为空间中点的坐标。在这儿，2x+3对应二维球面上的点(2,3)；子图2：在表面上画一条线，这条线将含有偶数个和奇数个因式的多项式分割开来；子图3：运用前人总结出的技巧，将“奇数部分”中只含一个素数因子式的点挑出来。zfa安检之家
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这已经使问题简单化了。有限域的孪生质数猜想讨论的是质数多项式，也就是只有一个因式的多项式（就像质数本身有一个因子一样）。因为1是奇数，所以偶数个因式的部分就不用考虑了。zfa安检之家
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诀窍在于分界。对于一个二维空间，比如一个球体的表面，想要将其一分为二，用一条一维的曲线就可以了，就像赤道把地球表面一分为二一样。更高维度的空间总是可以用比它少一个维度的物体来分割。